Método de Herón

TRIÁNGULO DE PASCAL Y SU RELACIÓN CON EL BINOMIO DE NEWTON

El Triángulo de Pascal debe su nombre al filósofo y matemático Blaise Pascal (1623-1662). Sin embargo, como en muchos casos matemáticos, su origen es muy anterior. Se tienen referencias que datan del siglo XII en China. De hecho, algunas de sus propiedades ya fueron estudiadas por el matemático chino Yang Hui (siglo XIII), así como el persa Omar Khayyam (siglo XII).

El triángulo de números combinatorios de Tartaglia o de Pascal (debido a que fue este matemático quien lo popularizó) es un triángulo de números enteros, infinito y simétrico, del que podemos ver sus primeras líneas:

RESOLUCIÓN DEL TRIÁNGULO DE PASCAL

El Triángulo de Pascal se utiliza como una técnica de conteo en la resolución de este tipo de problemas. Es decir, sintetiza el número de resultados obtenidos en el lanzamiento sucesivo de una moneda, distinguiendo el orden de aparición de las caras y los sellos, en cada lanzamiento.se realiza de la siguiente manera:

El triángulo se construye desde la cúspide hacia abajo. El primer elemento es el número 1, formando la fila 0. La  fila 1 está formada por dos elementos, ambos también el número 1. A partir de aquí, la construcción es como sigue: cada fila está formada por un elemento más que la anterior. El elemento primero y último de cada una siempre será el número 1, y cada elemento interior será el número resultado de sumar los dos elementos que se sitúan encima de él y adyacentes en la fila superior.

DESARROLLO DE POTENCIAS DE BINOMIOS

La fórmula general del llamado Binomio de Newton está formada por unos coeficientes que coinciden con los elementos de la fila cuyo número de orden es la potencia a la que está elevado el binomio. La fórmula general, recordemos, es:

Se pueden analizar algunas características al desarrollar la potencia de un binomio de Newton que es de la forma (x + y)n, a partir de la expresión (x + y)5 para n = 5.

• (x + y)5 = x5 +  5x4y + 10x3y2 + 10x2y3 +  5xy4 + y5

El desarrollo obtenido en este caso, sigue un patrón determinado. Por ejemplo los exponentes de x disminuyen de 1 en 1 a partir del primer término en el que el exponente es 5. Los exponentes de y aumentan de 1 en 1 a partir del segundo término en el que el exponente es 1. Y los coeficientes numéricos de cada término están dados por los números del triángulo de Pascal, donde el segundo término de la fila es 5.

En la siguiente tabla encontrarán el desarrollo de las cinco primeras potencias del binomio a + b, teniendo en cuenta los coeficientes dados en el triángulo de Pascal.

Aquí les dejo un vídeo para que enriquezcan su conocimiento: