Método de Herón

TEOREMA FUNDAMENTAL DE LA ARITMÉTICA

En primer lugar, ¿Que dice este teorema?: “Todo numero entero distinto de ±1 o bien es un numero primo, o bien se puede escribir como ±1 por un producto de numero primos positivos. Esta descomposición es única salvo el orden de los factores”. Esto implica definir dos cosas: ¿Que es numero primo? ¿Que es numero compuesto?

• Numero Primo: Un número natural (1,2,3,4,5,6,7,...) "p" > 1, es primo, si y sólo si, sus únicos factores son exactamente "p" y 1.

• Número Compuesto: Es un número natural mayor que 1, que NO es primo.

Esto se puede decir de otra forma: Un número es primo, si puede ser dividido, en forma exacta, solamente por 1 y por si mismo.

Este teorema, fue enunciado por Euclides, que fue un matemático griego, en el siglo III a.C. aunque con su demostración. Gauss no solo relleno esos espacios sino que generalizo el teorema para ciertas estructuras algebraicas llamadas ideales y dominios de integridad; son aquellos que si un producto de sus elementos es cero entonces uno de los factores también debe serlo.Este teorema sirve para interrelacionar los números primos y los compuestos.

En matemáticas, y particularmente en la teoría de números, el teorema fundamental de la Aritmética o teorema de factorización única afirma que todo entero positivo mayor que 1 es un número primo o bien un único producto de números primos. Un ejemplo sería la multiplicación que es conmutativa, ya que el orden de los factores es irrelevante ; por esta razón, usualmente se enuncia el teorema como factorización única salvo en el orden de los factores.

IMPORTANCIA

El teorema establece la importancia de los números primos. Éstos son los «ladrillos básicos» con los que se «construyen» los enteros positivos, en el sentido de que todo entero positivo puede construirse como producto de números primos de una única manera.

Conocer la factorización en primos de un número permite encontrar todos sus divisores, primos o compuestos.

Una vez que se conoce la factorización en primos de dos números, se pueden hallar fácilmente su máximo común divisor y mínimo común múltiplo.Sin embargo, si no se conoce la factorización en primos, usar el algoritmo de Euclides en general requiere muchos menos cálculos que factorizar los dos números.

 El teorema fundamental implica que las funciones aritméticas aditivas y multiplicativas están completamente determinadas por sus valores en las potencias de los números primos.

DEMOSTRACIÓN

La demostración se hace en dos pasos. En el primero se demuestra que todo número es un producto de primos (incluido el producto vacío). En el segundo se demuestra que cualquier dos representaciones son iguales.

Existen diferentes demostraciones:

DESCOMPOSICIÓN EN PRIMOS

Supongamos que existen algún entero positivo que no puede representarse como producto de primos. Entonces debe haber un mínimo número "n" con esa propiedad. El número "n" no puede ser 1, por lo que tampoco puede ser un primo, porque todo primo es el producto de un único número primo: él mismo.

Así pues," n = a b", donde "a" y "b" son enteros positivos menores que "n". Como "n" es el mínimo entero positivo para el que falla el teorema, tanto a como b pueden escribirse como producto de primos. Pero entonces "n = a b" también puede escribirse como producto de primos, lo que es contradictorio.

UNICIDAD

En la demostración de la unicidad podemos decir que se describe de esta manera: si un número primo "p" divide a un producto "a b", entonces divide a "a" o divide a "b" . Para demostrar esto,  se supone que "p" no divide a "a", entonces "p" y "a" son primos entre sí y  existen "x e" y enteros tales que "p x + a y = 1" Multiplicando por "b" se obtiene "p b x + a b y = b", y puesto que los dos sumandolos del lado izquierdo son divisibles por "p", entonces el término de la derecha también es divisible por "p".

Ya que los dos productos de primos tengan igual resultado, se tiene que tomar un primo "p" del primer producto. Se divide al primer producto, y por lo tanto también al segundo. Por lo anterior, "p" debe dividir al menos a un factor del segundo producto; pero los factores son todos primos, así que "p" debe ser igual a uno de los factores del segundo producto. Se puede entonces cancelar a "p" de ambos productos. Siguiendo de esta forma se cancelarán todos los factores de ambos productos, con lo cual éstos deben coincidir exactamente.

DEMOSTRACIÓN POR ÁLGEBRA ABSTRACTA

En esta demostracion se explica de manera que ya sea "n" un entero "Zn" es un grupo finito, por lo que tiene una serie de composición. Por definición, los factores en una serie de composición son simples; por lo tanto, en la serie de "Zn" éstos deben ser de la forma "Zp" para algún primo "p". Como el orden de "Zn" es el producto de los órdenes de los factores de su serie de composición, esto da una factorización de "n" en números primos. Pero el teorema de Jordan-Hölder afirma que una serie de composición es única, y por lo tanto la factorización de "n" debe ser única.

Aquí un pequeño vídeo para que te enriquezcas mas sobre el tema: